Дискретное преобразование Фурье

Захотелось мне сделать такой вот визулизатор звука, как на картинке. Причем в рилтайме и на микропроцессоре.

Приближенное вычисление чисел с плавающей точкой, sin(x), cos(x) и sqrt(x*x + y*y)

Потребовалось мне тут реализовать дискретное преобразование Фурье на микроконтроллере.

Пришлось вспоминать его формулу и математику. А там синусы, косинусы, да квадратные корни. А процессор умеет только складывать, вычитать, умножать и делить, да еще и только 16-битные целые числа.

Вспомнив, что там нам про тригонометрические функции рассказывали в институте, удалось сделать быстрое их вычисление с помощью совсем небольшой таблички (ибо памяти в микропроцессоре тоже кот наплакал).

А порывшись по закромам интернета, да по научным сайтам удалось наковырять и приближенное вычисление для sqrt(x² + y²), причем такое, что аж завидовать стал математикам.

Проверка на пересечение линейных интервалов времени

Очень часто при работе с интервалами времени встает проблема определения их пересечения. Так как же максимально просто и правильно это определить?